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问题描述：
有若干价值为分别为1，2 ，3，4，5，6的大理石，求总价值的均分策略。设价值为V的石头重量为V,这批石头的总价值为SUM,则问题转化为选取若干大理石将容量为SUM/2的背包装满。
背包问题（参考“背包问题9讲”）
有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。 f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值,则有：
0-1背包
| 状态转移方程 | f[i][v] = max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]} |
| 解法 O(VN) | for i = 1…N
for v = V…c[i] f[v] = max{f[v], f[v-c[i]]+w[i]}; |
| 子过程 | procedure ZeroOnePack(cost, weight)
for v = V…cost f[v] = max{f[v], f[v-cost]+weight} |
| 初始化 | 要求恰好装满背包： f[0] = 0, f[1…V] = –1
只要求价值最大: f[0…V] = 0 |
完全背包
| 状态转移方程 O(V*Σ(V/c[i])) | f[i][v] = max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v} |
| 转化为0-1背包问题 O(VN) | for i = 1…N
for v = cost…V f[v] = max{f[v], f[v-cost]+weight} |
| 子过程 | procedure CompletePack(cost, weight)
for v = cost…V f[v] = max{f[v], f[v-cost]+weight} |
多重背包 (指定每件物品的个数n[i])
| 状态转移方程 O(V*Σn[i]) | f[i][v] = max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]} |
| 二进制优化 O(V*Σlog(n[i])) | 将第i种物品以2的指数分堆：1，2，4，…，2^(k-1)，n[i]-2^k+1,且
k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。每次处理一堆而不是一个物品。 |
| 伪代码 | procedure MultiplePack(cost, weight, amount)
if cost*amount>=V CompletePack(cost, weight) return integer k=1 while k<amount ZeroOnePack(k*cost, k*weight) amount = amount – k k = k * 2 ZeroOnePack(amount*cost, amount*weight) |
取模优化
当输入样本特别大时，比如给出上百万件物品，这时候仅靠优化算法仍然不能使运行时间降到满意的范围。可考虑如何减少输入样本。poj1014的discussion上有一个非常巧妙的“取模优化”法。
设价值为v(1<=v<=6)的物品共有n件，我们希望找到一个比较小的数s(s<n), 且将n件物品v减少到s或s-1件，问题的可分性不变。考虑不可分和可分两种情况：
- 如果该问题不可分，那么n-2件v仍然不可分，依次类推，用s或 s-1替换n仍然不可分
- 如果该问题可分，即可分成价值相等的两堆。分两种情况考虑：
- 如果两堆里都有v。 两堆各减一个v，即n改为n-2,仍然可分，可以反复减2直至只有一堆有v。
- 如果仅有一堆有v。 如果将n改为n-2仍可分，则必须满足两个条件： I.没有v的那一堆中，至少有一种其它物品可替换v。II.替换后两堆都至少有一个v。如果n>s时始终满足这两个条件，我们就可以用s或s-1替换n.
下面依次考虑v=1,2,3,4,5,6时如何根据“抽屉原理”得到满足条件I和II的s。
v=1时，s=6 替换法： if(n>6) n=6-n%2
1总能被其它价值替换，所以满足条件I不是问题，为满足条件2，s必须大于6。 因为6是其它价值物品中一次可替换最多1的物品。
v=2时，s=5 替换法： if(n>5) n=4+n%2
由1*(2-1)+3*(2-1)+4*(1-1)+5*(2-1)+6*(1-1) = 9 < 2*5知，s=4时满足条件I。但这里要注意，如果另一堆可替换2的是两个5，那么一次就可替换5个2。为满足条件 II,s不能小于5。所以这里s是5而不是4。
v=3时，s=8 替换法： if(n>8) n=8-n%2
由1*(3-1)+2*(3-1)+4*(3-1)+5*(3-1)+6*(1-1) = 24 < 3*9知，s=8时满足条件I，且最多可替换5个3，所以s=8>5也满足条件II。
v=4时，s=8 替换法： if(n>8) n=8-n%2
由1*(4-1)+2*(2-1)+3*(4-1)+5*(4-1)+6*(2-1) = 35 < 4*9知， s=8时满足条件I，且最多可替换5个4，所以s=8>5也满足条件II。
v=5时，s=12 替换法： if(n>12) n=12-n%2
由1*(5-1)+2*(5-1)+3*(5-1)+4*(5-1)+6*(5-1) = 64 < 5*13知，s=12满足条件I，且最多可替换6个5，所以s=12>6也满足条件II。
v=6时，s=7 替换法：if(n>7) n=6+n%2
由1*(6-1)+2*(3-1)+3*(2-1)+4*(3-1)+5*(6-1) = 45 < 6*8知，s=7满足条件I，且最多可替换5个6，所以s=7>5也满足条件II。
可以看出，“模优化”将无论多么大的输入样本减少到50个以内，极大地减少了计算量，从而显著提高运行效率。而“模优化”的关键就是“抽屉原理”。
6 Responses to POJ1014: 多重背包 + 二进制优化 + 取模优化